SETENGAH PUTARAN

SETENGAH PUTARAN

PENGERTIAN SETENGAH PUTARAN

Defenisi 3.1

Misalkan v bidang Eculid dan A titik tertentu pada bidang v. setengah putaran pada titik A adalah  yang didefenisikan untuk setiap titik P  pada v sebagai berikut:

1.      Apabila  P= A maka  (P) = A

2.      Apabila  P ≠ A maka  (P) = Q sehingga A titik tengah  (ruas garis  PQ)

Contoh:

Diberikan A,B  dabn C adalah titik-titik pada bidang Eculid v. lukis:

a.       Titik D sehingga D =  (B)

b.      Titik E sehingga  C=  (E)

Jawab:

a.       D = (B) berdasarkan defenisi 3.1 adalah titik tengah  . Karena  B ≠ A maka ada ruas garis  .  Dan diperpanjang garis   ke arah titik A  sehingga memperoleh ruas garis   yang ekuivalen dengan ruas garis  . akibatnya mendapatkan ruas garis  dimana A merupakantitik tengah ruas garis   artinya D = (B).

b.      C=  (E) berdasarkan defenisi 3.1 A adalah titik tengahj dari  karena  C ≠ A maka ruas garis  . kemudian diperpanjang ruas garis   ke arah A sehingga memperoleh ruas garis  yang ekuivalen dengan ruas garis  . Akibatnya memndapatkan ruas garis   dimana titik A sebagai titik tengah nya artinya C=  (E).

E                                  B

 

                  A

D                                C

A.     SETENGAH PUTARAN SEBAGI SUMBU ISOMETRI

Teorema  3.1

 Setiap setengah putaran adalah suatu isometri

Bukti:

Dalam rangka membuktikan teorema 3.1 diatas sebarang setengah putaran  , dalam hal ini terdapat dua langkah yaitu:

1.      Langkah menunjukan  merupakan suatu transformasi

2.      Langkah menunjukkan  merupakan suatu isometric

Timbul pertanyaan pada benak anda mengapa demikian? Hal ini disebabkan karena andamenetapkan pengertian isometric melaluipengertian transformasi.

a.       Untuk menunjukan  suatu transformasi maka kita menunjukkantiga hal:

1.       (P) € v , € v, artinya  :v  v

Ambil P € v sebarang. Karena p= A maka berdasarkan defenisi 3.1  (P) = A. karena A € v maka   (P) € c. apabila P ≠ A, maka   v, misalkan Q =  (P) maka berdasarkan defenisi 3.1 2) A titik tengah  artinya A €  karena A€  maka    karea a, P € v maka  € v karena    dan   v maka p € v. dengan kata lain  :v  v

2.       fungsi kepada

Ambil titik Q bsebarang pada v. apabila Q =A maka P € v, yaitu P= A sehingga  (P= A) = Q =A. apabila Q≠ A maka    v karena    v maka P € v sehingga A titik tengah dari  berarti Q ≠ A ada P€ v sehinnga   (P) = Q jadi   fungsi kepada

3.       fungsi satu-satu

Ambil P dan R sebarang pada v sehingga  (P) = (R) apabila  (P) = (R) maka P =A =R. apabila  (P) = (R) = S dengan S ≠A maka titik tengah  dan    karena A titik tengah  dan maka  = . Karena   =  maka P = R karena untuk sebarang  P dan R pada v dengan  (P) = (R) dapat P =R maka   merupakan fungsi satu-satu.

Selanjutnya tunjukkan  suatu isometri

Ambil titik P dan  pada v kemydian misalkan  (P) =D dan  (R) =E, maka PA =AD dan RA  =AE

                             E                                       P

                                            A

            D                                                 R

Hubungkan titik P denganR dan D dengan E mka terbentuklah dua segitiga yaitu ∆PAR dan ∆DAE karena PA =DA DAE (sudut-sudut bertolak belakang ) dan RA =AE maka ∆ PAR  ∆ DAE (sisi- sudut –sisi) ∆PAR  ∆DAE maka PR =DE jadi   suatu isometri

B.     SIFAT- SIFAT SETENGAH PUTARAN

Teorema 3.2

Apabila garis- garis g dan h berpotongan tegak lurus di titk A maka   = µg ο µh

Bukti:

Misalkan  (P) = P´ ,µ h )P) =P₁ µg (P₁) =P₂ maka:

1.      µg ο µh (P) = P₂

2.      A titik tengah dari   

3.      h sumbu dari    

4.      g sumbu dari  

 

P₁                                                            P

c                       A₁

                        A

 P₂

      P’

Misal {B} =   h, {c} =    g. perhatikan  ∆PBA dan ∆PP₁P’ karena PP₁  = 2PB dan PP₁ = 2PA maka PP₁ : PP’ = PB:PA jadi  ∆PBA ∆PP₁p’ . adalah sudut siku=siku maka PP₁P’ juga suatu siku-siku. Sehingga       dan bahwa g sumbu dari    , h sumbu dari    dan g  h, jadi       karena     dan      akibatnya P₁ dan P₂ dan P’terletak pada satu garis yang tegak lulus pada   artinya P’ terletak pada    selanjutnya     h  = {A}.

Perhatikan ∆PBA₁ dan ∆APP₁P₂ karena PBA₁  ∆PP₁P₂ yaitu sudut siku-siku maka ∆PBa₁  ∆PP₁P₂ tetapi PP₁ =2PB, akibatnya A₁ titik tengah  

             P₁                                     h                               P

                                            B

        C                                 A₁                                       g

                                                  A

          P’

Karena g sumbu dari     maka P₁C = CP₂. Karena PA₁ = A₁P₂ dan P₁C = CP₂ maka     karena    P₁P₂, c €    maka       tetapi     akibatnya   =  karena{A₁}= h      maka A₁ =A akibatnya   = . selanjutnya {P₂} =       ,{P}=       dan  = maka   (P) = µg ο µh (P) ,€ v jadi   (P) = µg ο µh

Teorema 3.3

Apabila g  maka  µg ο µh = µh ο µg.

Bukti:

Misalkan {A} = g h karena  g , maka µg ο µh = dan µh ο µg =, jadi µg ο µh = µh ο µg.

Teorema 3.4

Setiap setengah putaran adalah involusi

Bukti:

Ambil sebarang putaran  .buktikan  involusi yaitu =  . ambil dua garis g dan h sehingga {A} = g  h dan g  h. berdasarkan teorema 3.2  = µg ο µh selanjutnya  ()^-1= (µg ο µh)^-1 = µh^-1 ο µg^-1 = µg ο µh =  sebab g  dan {A}= g  h. jadi   adalah involusi.

C.     PERSAMAAN SETENGAH PUTARAN

Hubungan antara setengahputaran dengan koordinat kartesius dituangkan dalam teorema berikut:

Teorema 3.5

Apabila A(a,b) dan P(x,) sebarang titik maka   (P)= (2a- x, 2b- y)

Bukti:

Misalkan Q(x₀,y₀) = (P) maka A titk tengah   . sehingga

a = dan b =   apabila diselesaikan didapat persamaan X₀ = 2a- x dan y₀ 2b-y, jadi (P) =( 2a-x,2b- y),  (x,y).

LANJUTAN SETENGAH PUTARAN

Defenisi 3.2

Misalakan A suatu titik tertentu pada bidang Euculid dan T suatu transformasi. Titik A disebut invarian  pada transformasi T jka dan hanya jika berlaku T(A) =A

Teorema 3.6

setiap refleksi (pencerminan) pada garis mempunyai tak hingga titik invirian

bukti:

berdasarkan defenisi dari suatu refleksi pada sebuah garis, misalnya sumbu refleksinya adalah garis g maka diketahui bahwa:

1.      µg(P) =P jika P € g

2.      µg(P) = Q jika g sumbu dari

3.      akibatnya € g jelas bahwa µg(P) =P

akibatnya, € g jelas bahwa  µg(P) =P. artinya P titik invirian pada µg ini. Karena g mempunyai tak hingga titik,jadi titik invariant dari µg adalah tak hingga, yaitu semua titik pada garis g.

teorema 3.7

setiap setengah putaran mempunyai tepat satu titik invariant

bukti:

ambil  sebarang setengah putaran maka P=A sehingga (A) = A. berdasarkan defenisi 3.2 jelas bahwa A titi invarian pada , jadi  mempunyai tepatsatu titik invariant. Karena  sebarang setengah putaran maka setiap setengah putaran mempunyai tepat satu titikinvarian.

defenisi 3.3

Sebuah transformasi T yang mempunyai sifat bahwa sebuah garis petanya adalah sebuah garis maka T disebut kolineasi

Teorema 3.8

Setiap refleksi pada garis merupakan suatu kolineasi

Bukti:

Ambil µg sebarang refleksi pada garis g. µg disebut isometric, karena isometric bersifat mengawetkan garis. Artinya peta dari suatu garis adalah garis lagi oleh suatu isometric. Maka µg mengawetkan garis.maka disimpulkan bahwa µg suatu kolesi karena µg diambil sebarang refleksi pada garis maka setiap refleksi merupakan suatu kolineasi.

Teorema 3.9

Setiap setengah putaran merupakan suatu kolineasi

Bukti:

Karena setengah putaran merupakan suatu isometric dan karenasuatuisometri mengawetkan garis maka setengah putaranmerupakan kolineasi

Defenisi 3.4

Suatu kolineasi yang mempunyai sifat bahwa peta dan prapeta suatu garis akan sejajar disebut dilatasi

Teorema 3.10

Setiap setengah putaran merupakan dilatasi

Bukti:

Ambil  sebarang putaran dan g sebarang  garis . apabila g melalui titik A maka  (g) = g jadi  (g)  g. apabila g tidak melelui titik A, ambil B, C € g, misalkan D = (B), E = , maka AB =AD, AC =AE, dan DAE sebab B, A, D dan C, A, D masing-masing terletak pada satugaris , jadi ∆ BAC  ∆DAE (s-sd-s) akibatnya   DAE karena  DEA dan E juga a terletak pada satu garis maka   //  karena g =  dan  (g) =  maka (g) // g. jadi  merupakan dilatasi

 

                     g                                     (g)

              B           A                          E

          c

                                 D

Teorema 3.11

Komposisi dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda titik memiliki titik invariant

Bukti:

Ambil  dan  dengan A≠ B . namakan  dengan garis g dan buat garis h melalui A tegak lurus g dan garis k melalui B tegak lurus garis g

 

                  h                           k

                  A                          B

Akibatnya  = maka  µh ο µg dan  = µg ο µk, sehingga didapat

                         ο  =(µh ο µg) ο(µg ο µg), subtitusi,

                                    = µh ο (µg ο µg) ο µk, asosiatif

                                    = µh ο  ο µk karena µg ο µg =

                                    = µh ο  ο µk asosiatif

                                    = µh ο µk   identitas

Andaikan X titik invariant dari  ο  artinya  ( ο  (X) = x

Karena  ο = µh ο µk (X) = X

Jadi   µh ο [µh ο µk (X) ]=µh (X)

            (µh ο µh (X)  ο [µk (X)]= µh (X) asosiatif

             ο [µk (X)]= µh ο µh =  

            µh (X) = µh (X) identitas

teorema 3.12

apabila diberikan A dan B sehingga A≠ B maka hanya ada satu buah setengah putaran yang memetakan A ke B

bukti:

ada dua hal yang harus di tunjukkan:

1.      adanya setengah putaran yang memetakan A ke B, karena A ≠ B maka ada  hal ini mengakibatkan adanya D sehingga D titik tengah  , artinya ada setengah putaran   sehingga  (A) = B

2.      tidak lebih dari satu buah setengah putaran yang memetakan  A ke B

andaikan dua buah setengah putaran  dan  sehingga (A) = B dan (A) = B akibatnya  =