SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

BAB IV

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

A. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)

Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.

Bentuk Umum PLDV :

ax + by = c

x dan y disebut variabel

B. Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua

variable yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.

Bentuk umum SPLDV :

ax + by = c

px + qy = r

dengan :

x , y disebut variabel

a, b, p, q disebut keifisien
c , r disebut konstanta

C. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)
     Cara penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan cara :

1. Substitusi

Menggantikan satu variable dengan variable dari persamaan yang lain. contoh :

Carilah penyelesaian sistem persamaan

+2     =8

2   −      =6

jawab :

Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu    x + 2y = 8 Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi  x = 8 - 2y,
Kemudian persamaan yang diubah  tersebut disubstitusikan ke persamaan 2x - y = 6 menjadi :

2 (8 - 2y) - y = 6 à (x persamaan kedua menjadi  x = 8 - 2y) 16 - 4y - y = 6

16 - 5y = 6

-5y = 6 - 16

-5y = -10
5y = 10

y =     = 2

masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :

x + 2y = 8

x + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 - 4
x = 4

Jadi penyelesaian dari sistem

2. Eliminasi

+2    =8

2    −     =6 ^{adalah x = 4 dan y = 2}

^{Dengan cara menghilangkan salah satu variable x atau y contoh :}

^{Selesaikan soal di atas dengan cara eliminasi:}

^{Jawab  ;}

^{x + 2y = 8
2x - y = 6}

^{(i) mengeliminasi variable x}

^{x + 2y = 8    | x 2 |} ⇔ 2x + 4y = 16

2x - y = 6    | x 1 | ⇔     2x -  y =     6      -

5y =10

5y  = 10

y =
y = 5

masukkan nilai y = 2  ke dalam salah satu persamaan

x  + 2 y = 8

x  + 2. 2 = 8
x + 4 = 8

x = 8 - 4
x = 4

Jadi penyelesaian dari sistem

(ii) mengeliminasi variable y

+2    =8

2    −     =6 ^{adalah x = 4 dan y = 2}

^{x + 2y = 8  | x 1 |} ⇔  x + 2y =          8

2x - y = 6    | x 2 | ⇔    4x - 2y = 12 +

5x        = 20

x        =

x        =  4

masukkan nilai x = 4  ke dalam salah satu persamaan

x  + 2 y = 8

4  + 2y = 8

2y = 8 - 4
2y = 4

y=

y = 2

Jadi penyelesaian dari sistem

* catatan

+2    =8

2    −     =6 ^{adalah x = 4 dan y = 2}

^{nilai + atau - digunakan untuk menghilangkan/eliminasi salah satu variable agar menjadi 0}

Contoh di atas:

(i) yang dieliminasi adalah x :

x dalam persamaan satu + dan persamaan dua + , untuk eliminasi digunakan
tanda -

(ii) yang dieliminasi adalah y :

y dalam persamaan satu +, persamaan dua - , untuk eliminasi digunakan
tanda +

3. Grafik

Dengan menggambarkan persamaan linearnya pada koordinat Cartesius, titik
potong dari kedua persamaan linier tersebut merupakan penyelesaiannya.

Contoh:

Carilah penyelesaian dari:

+      =8

2   −      =4

Jawab:

− Tentukan titik potong garis x + y = 8 dengan sumbu x dan sumbu y

titik potong dengan sumbu y jika x = 0

jika x = 0 à maka y = 8 - x = 8 - 0 = 8

titik potong dengan sumbu x jika y = 0 jika y = 0 à x = 8 - y = 8 - 0 = 8

Maka persamaan garis x + y = 8 adalah melalui titik (0.8) dan (8,0)

- Tentukan titik potong garis 2x - y = 4  dengan sumbu x dan sumbu y

titik potong dengan sumbu y jika x = 0

jika x = 0 à maka y = 2x - 4 = 2.0 - 4 = - 4

titik potong dengan sumbu x jika y = 0

jika y = 0 à2 x = y + 4 = 0 + 4 = 4, maka x = = 2

Maka persamaan garis 2x - y = 4  adalah melalui titik (0, -4) dan (2,0)

Gambar grafiknya sbb:

dari gambar grafik terlihat titik potong garis x + y = 8 dan 2x - y =  4  adalah (4,4).

Jadi penyelesaian dari

+      =8

2    −      =4 ^{adalah x = 4 dan y = 4}

^{Contoh soal penggunaan sistem persamaan linear dua variabel :}

^{Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila harga untuk membeli 5 buah mangga dan  4 buah jeruk adalah Rp11.500,-}

^{Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli  4 buah mangga dan 5 buah jeruk ?}

^{Jawab :}

^{Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model matematika.}

^{Misal:  harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y Maka model matematika soal tersebut di atas menjadi :}

2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500

Ditanya  4 x + 5 y =  ?

Kita eliminasi variable x :

2x + 3 y = 6000    | x 5 |        10x + 15 y = 30.000

5x + 4 y = 11500 | x 2 |         10x + 8 y = 23.000

7y  = 7.000

y  = 1.000

masukkan ke dalam salah satu persamaan : 2x + 3 y = 6000

2x + 3 . 1000 = 6000

2x + 3000 = 6000

2x   = 6000 - 3000

2x = 3000

x = 1500

-    (- karena x persamaan 1 dan 2 +)

didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)

sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk adalah  4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000

= 6000 + 5000

= Rp. 11.000,-