Bentuk Aljabar

BAB II

BENTUK ALJABAR

A. Pengertian Bentuk Aljabar

1. x, 2y, x+3y , 3p+5q, a² +b +3 disebut bentuk aljabar

2. ax²     + bx + c = 0   ; a,b,c,x dan 0 adalah lambang-lambang aljabar a dan b disebut

koefisien ; c disebut konstanta ; x²  dan x disebut variabel

3.2x²                                    ; 2 disebut koefisien dan x² disebut variabel

5q                           ;  5 disebut koefisien dan q disebut variabel

4.2x dan 3x merupakan dua suku sejenis

5x²dan 7 x merupakan dua suku tidak sejenis

B. Operasi Pada Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Suku-suku yang dapat dijumlahan/dikurangkan adalah suku-suku yang sejenis, yang dijumlahkan/dikurangkan adalah koefisiennya

a. Penjumlahan

ax + bx = (a+b)x

ax  + b + cx + d = (a+c)x + (b+d)

contoh:

1. 7x + 3x = ?

2. -2 x² - 3 x² = ?

3.  2 x² -3 + x²  - 4 = ?

Jawab :

1.  7x + 3x = (7+3)x = 10x

2. -2 x²  - 3 x²  = (-2-3) x²       = -5 x²

3.2 x² -3 + x² - 4 = (2+1) x² + (-3-4) = 3 x²                -7

b. Pengurangan

ax - bx = (a-b)x

ax - b - cx - d = (a - c)x - (b+d)

contoh :

1. 7x - 3x = ?

2. 5x - 8 - 2x - 1 = ?

jawab :

1.  7x - 3x = (7-3)x = 4x

2.  5x - 8 - 2x - 1 = (5-2)x - (8+1) = 3x - 9

2. Perkalian dan Pembagian

- Perkalian

a. Perkalian konstanta dengan bentuk aljabar
     a(bx+cy) = abx + acy

contoh :

1. 5 (2x+4y) = 10x + 20y

2. -3(3x-2y) = -9x + 6y

b. Perkalian bentuk aljabar dengan bentuk aljabar

ax(bx+cy) = ab x²  + acxy

ay(bx+cy) = abxy + ac y²

(x+a) (x+b) = x² + bx + ax +ab
contoh :

1. 3x(2x+3y) = 6 x² + 9xy

2. (3x+y) (x-2y) = 3 x . x + (3x . -2y) + y. x + (y . -2y)

= 3 x² + (-6xy)+xy+(-2 y² )

=  3x²  - 5xy - 2 y²

- Pembagian
Contoh:

1. (8x+4):4 =          =    (8x + 4) = 2x + 1

2.12a² :  3a =          =           = 4a

3.  Pemangkatan

Sifat-sifat pemangkatan bilangan bulat berlaku juga pada pemangkatan bentuk
aljabar.

Contoh:

1. (3x)² = 3x . 3x = 9 x²

2. (2xy)² = 2xy . 2xy = 4x²y²

a. Pemangkatan bentuk aljabar dalam bentuk  x + y
     contoh:

(x + y)² = (x+y) (x+y)

=  (x+y) x + (x+y) y
= x² + xy + xy + y²
= x² + 2xy + y²

b.Pemangkatan bentuk aljabar dalam bentuk  x - y contoh:

(x - y)² = (x - y) (x - y)

=  (x- y) x - (x - y) y
= x² - xy - xy + y²
= x² - 2xy +  y²

Pemangkatan bentuk-bentuk  aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah Segitiga Pascal sbb:

(x+y)⁰ = 1                                                                    1

(x+y)¹ = x + y                                                   1                  1

(x+y)² = x² + 2xy  + y²                                     1              2              1

(x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³            1              3              3            1

(x+y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴ 1 4            6             4           1

dan seterusnya                                                             dan seterusnya

Perpangkatan bentuk aljabar (x-y)ⁿ dengan n bilangan asli juga menggunakan kaidah Segitiga Pascal, akan tetapi tanda setiap koefisiennya berganti dari (+) untuk suku ganjil dan (-) untuk suku genap.

(x - y)⁰ = 1

(x - y)¹ = x - y

(x - y)² = x²  - 2xy  + y²

(x - y)³ = x³  - 3x²y + 3xy² - y³

(x - y)⁴ = x⁴ - 4x³y + 6x²y² - 4xy³ + y⁴
dan seterusnya

4. Pemfaktoran

a. Bentuk distributif

ax  ±  ay = a (x  ± y)  a bisa koefisien atau variabel contoh:

3x + 9y = 3 (x + 3y)  a berbentuk koefisien
ax - ay = a (x - y)  a berbentuk variabel

b. Selisih kuadrat

x² - y² = (x + y) ( x - y)
contoh:

x² - 4² = x² - 16 = (x + 4) (x - 4)

c.  Kuadrat sempurna

x² + 2xy + y² = (x + y)²
x² - 2xy + y² = (x - y)²
contoh:

x² + 8x + 16 = (x + 4)²
x² - 8x + 16 = (x - 4)²

d.   Bentuk ax² + bx + c = 0  dimana a = 1

ax² + bx + c = (x + m) (x + n)

dengan m + n = b dan m.n = c

Contoh:

x² + 7x + 12 = (x + 4) ( x + 3)

m + n = 7 dan m . n = 12

yang memenuhi adalah m= 4 dan n= 3 atau m= 3 dan n= 4

e.   Bentuk ax² + bx + c = 0  dimana a ≠ 1

a.c = m. n dan m + n = b

Contoh:

2x² + 3x + 1 = 0

2 . 1 = m . n dengan syarat  m + n = 3

yang memenuhi adalah m = 2 dan n = 1 atau sebaliknya

maka

2x² + 3x + 1 = 0  menjadi 2x² + 2x + x + 1 = 0
      2x (x + 1) +  1 (x+1) = 0

(2x + 1 ) (x + 1)

C. Operasi Pecahan dalam Aljabar

Dalam Bentuk Aljabar juga dapat berupa pecahan Contoh:

,      ,      ,           , dan sebagainya

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Konsep penjumlahan dan pengurangan pecahan dalam bentuk aljabar sama dengan penjumlahan/pengurangan pecahan biasa yaitu dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu.

Contoh:

1.

2.

+

(        )

=     +     =

(         )       (         )

-         =

(         )           (         )(         )

=

=

2. Perkalian dan Pembagian

a. Perkalian

Pada perkalian bentuk pecahan penyelesaiannya dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

x    =

contoh:

x            =               =

(          )       (          )         (          )

b. Pembagian

Pada pembagian bentuk pecahan penyelesaiannya sama dengan bentuk pecahan
biasa.

:    =  x

Contoh:

:      =     :              :

=

3. Pemangkatan

Pemangkatan pecahan bentuk aljabar adalah perkalian pecahan bentuk aljabar itu sendiri sebanyak n kali.

contoh:

=   x      =

D. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

Penyederhanaan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan operasi bentuk aljabar. Faktorkan pembilang dan penyebut kemudian faktor yang sama dari pembilang dan penyebut dibagi.

Contoh:

1. xy² : x²y =

2.               =

(

=             =

⁾ = 3 ( 1 + 2x) = 3 + 6x

)(         )

3.                    =(                        = x + 6

(        )

E. FPB dan KPK Bentuk Aljabar

Contoh:

Carilah FPB dan KPK dari bentuk: 12xy², 24xyz²  dan  8x²yz !

Jawab:

FPB  ambil faktor yang sama dengan pangkat terkecil

KPK  ambil semua faktor yang sama, pilih faktor dengan pangkat terbesar

Faktor prima:

12xy² = 2²  . 3 . x . y²

24xyz² = 2³ . 3 . x . y . z²
8x²yz = 2². x². y. z

FPB = 2² .x . y = 4xy

KPK = 2³.3. x². y². z² = 24 x² y² z²