ardhi.lizet: MATRIKS

1. MATRIKS

A. PENGERTIAN

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom yang ditulis diantara tanda kurung ( ) atau [ ] atau || ||

Susunan horizontal disebut dengan baris sedangkan susunan vertikal disebut dengan kolom
Bentuk Umum Matriks :

adalah elemen atau unsur matriks yang terletak pada baris ke-m dankolom ke-n

Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf besar A,B, P, Q, dsb . Sedangkan Unsur/elemen-elemen suatu matriks dengan huruf kecil sesuai nama matriks dengan indeks sesuai letak elemennya, seperti a₁₁, a₁₂, ...

Contoh :

Diketahui matriks A =

Tentukan :

a. banyak baris d. elemen-elemen kolom ke-3

b. banyak kolom e.

c. elemen-elemen baris ke-1 f.

Jawab :

a. banyak baris : 3 buah

b. banyak kolom :5 buah

c. elemen-elemen baris ke-1 : 1, 4, 6, -3, 8

d. elemen-elemen kolom ke-3 : 6, 9, 7

= elemen baris ke-3 kolom ke-4 = 5

= elemen baris ke-1 kolom ke-3 = 6

Contoh 2: Diketahui

Tentukan letak elemen -2 dan 8 !

Jawab : elemen -2 = a₂₁

elemen 8 = a₃₂

B. ORDO MATRIKS

Yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks.

artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah.

Contoh :

Diketahui

Tentukan ordo matriks P dan Q

Jawab :

Ordo matriks P = 2 x 4 atau P _{2 x3 ;} Ordo matriks Q = 3 x 2 atau Q_{2 x3}

C. JENIS-JENIS MATRIKS

Matriks Nol

Yaitu matriks yang setiap elemennya nol.

Contoh :

Matriks Baris

Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris

Contoh :

3. Matriks Kolom

Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom.

Contoh :

4. Matriks Bujur sangkar/Matriks Persegi

Yaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja.

Contoh :

5. Matriks Diagonal

Yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.

Contoh :

6. Matriks Satuan /MatriksIdentitas (I)

Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen lainnya nol.

Contoh :

7. Matriks Skalar

Yaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan semua elemen lainnya nol.

Contoh :

8. Matriks Segitiga Atas

Yaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.

Contoh :

9. Matriks Segitiga Bawah

Yaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol.

Contoh :

10. Matriks Koefisien

Yaitu matriks yang semua elemennya merupakan koefisien-keofisien dari suatu sistem persamaan linear.

Contoh1: Matriks koefisien dari sistem persamaan liniear 2x + 3y =7 adalah :

-4x + 5y =-3

Contoh 2: Matriks koefisien dari sistem persamaan liniear 3x +2y-z = 7
4x +2z = 8 adalah

x -5y+4z =-6

D. KESAMAAN DUA MATRIKS

Dua matriks dikatakan sama jika ordo dan elemen-elemen yang seletak sama.

Contoh 1:

Jika A= B maka: a=p, b=q, c=r dan d=s

Contoh 2: Tentukan x dan y dari

Jawab : x = 1

2y = 8

y =4

E. TRANSPOSE MATRIKS

Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukarkan elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen-elemen pada kolom menjadi baris.

Transpose matriks A dinyatakan dengan

atau A’.

Contoh 3: Jika

maka tentukan

Jawab :

F. OPERASI MATRIKS

1. PENJUMLAHAN MATRIKS

Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemen-elemen yang seletak.

Contoh 1:

A =

, B =

Maka A + B =

Contoh 2: Jika

dan

, tentukan :

a). A + B b). B + A c). B + C d). A + (B + C) e) A+B

f). (A + B) + C

Jawab :

a. A + B =

b. B + A =

c. B + C =

d. A + (B + C) =

e. (A + B) =

f. (A + B)+C =

Sifat-sifat penjumlahan matriks :

1. A + B = B + A (bersifat komutatif)

2. A + (B + C) = (A + B) + C (bersifat asosiatif)

3. A + O = O + A = A (O matriks identitas dari penjumlahan)

4. A + (-A) = (-A) + A = O (-A matriks invers penjumlahan)

2. PENGURANGAN MATRIKS

Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-elemen yang seletak.

Contoh : Jika

dan

, maka tentukan :

a. A – B b. B – A c. (A-B)-C d. A-(B-C)

Jawab :

a. A – B =

…

b. B – A =

Sifat-sifat Pengurangan matriks :

1. A – B

B – A (tidak komutatif)

2. A – (B – C) = (A – B) – C (asosiatif)

3. PERKALIAN MATRIKS

a. PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL (SKALAR)

Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A.

Contoh 1: Jika

maka tentukan :

a. 2A b.

Jawab : a. 2A =

…

Sifat-sifat perkalian skalar k dengan suatu matriks :

1. k(A + B) = …

2. (k + l)A = …

3. k(lA) = …

b. PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matriks kanan).

Ordo hasil perkalian matriks

dengan

, misalnya matriks C yang akan berordo mxp (seperti permainan domino).

A_{m
x n} . B _{n x p} = C _{m x p}

Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian).

Misal :

dan

maka :

AB =

Contoh 1: Diketahui

dan

Terntukan :

a. AB b. AC c. AD

Jawab : a. AB =

b. AC tidak dapat dikalikan, karena banyaknya kolom matriks A ≠ banyaknya baris matriks

c. AD =

…

Contoh 2: Diketahui

dan

Tentukan :

a. AB b. BA c. BC d. AC e. (AB)C f. A(BC)

g. B + C h. A(B + C) i. AB + AC j. AI k. IA

Jawab :

a. AB =

b. BA =

c. BC =

d. AC =

e. (AB)C =

f. A(BC) =

g. B + C =

h. A(B + C) =

i. AB + AC =

j. AI =

k. IA =

Sifat-sifat perkalian matriks :

1. Umumnya tidak komutatif (AB

BA)

2. Asosiatif : (AB)C = A(BC)

3. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC

Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA

4. Identitas : IA = AI = A

5. k(AB) = (kA)B

G. INVERS MATRIKS

1. INVERS MATRIKS ORDO 2 x 2

Jika AB = BA = I , dimana I matriks satuan yaitu

maka A dan B dikatakan saling invers. Invers matriks A dinotasikan

Misal

dan

maka :

AB = I

ap + br = 1

dan

cp + dr = 0

aq + bs = 0

dan

cq + ds = 1

Karena

maka

ad – bc disebut Determinan (D) atau

atau det(A).

Jadi

Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks Singular. Jika ad – bc

maka matriks A disebut matriks Non Singular.

Jika ada persamaan matriks berbentuk :

AX = B maka X

XA = B maka X =

H. INVERS MATRIKS ORDO 3 x 3

1. DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3

Cara menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dengan menggunakan diagram SARRUS, yaitu :

1. Salin kolom ke-1 dan ke-2 pada kolom ke-4 dan ke-5

2. Kurangkan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke bawah dengan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke atas.

det (A) =

2. VEKTOR

SKALAR dan VEKTOR

Besaran-besaran Fisika ditinjau dari pengaruh arah terhadap besaran tersebut dapat dikelompokkan menjadi :

Skalar : besaran yang cukup dinyatakan besarnya saja (tidak ter-gantung pada arah). Misalnya : massa, waktu, energi dsb.
Vektor : besaran yang tergantung pada arah. Misalnya : kecepatan, gaya, momentum dsb.

Notasi Vektor.

Notasi Geometris.

Penamaan sebuah vektor :

dalam cetakan : dengan huruf tebal : a, B, d.

dalam tulisan tangan : dengan tanda ¾ atau ® diatas huruf : a , B, d.

Penggambaran vektor :

vektor digambar dengan anak panah :

a d

panjang anak panah : besar vektor.

arah anak panah : arah vector

Notasi Analitis

Notasi analitis digunakan untuk menganalisa vektor tanpa menggunakan gambar. Sebuah vektor a dapat dinyatakan dalam komponen-komponennya sebagai berikut :

a_y I j y

a_x x

a_y : besar komponen vektor a dalam arah sumbu y

a_x : besar komponen vektor a dalam arah sumbu x

Dalam koordinat kartesian :

vektor arah /vektor satuan : adalah vektor yang besarnya 1 dan arahnya sesuai dengan yang didefinisikan. Misalnya dalam koordinat kartesian : i, j, k. yang masing masing menyatakan vektor dengan arah sejajar sumbu x, sumbu y dan sumbu z.

Sehingga vektor a dapat ditulis :

a = a_x i + a_y j

dan besar vektor a adalah :

a = Ö a_x²+ a_y²

OPERASI VEKTOR

1. Operasi penjumlahan

A + B = ?

Tanda + dalam penjumlahan vektor mempunyai arti dilanjutkan.

Jadi A + B mempunyai arti vektor A dilanjutkan oleh vektor B.

A+B

Dalam operasi penjumlahan berlaku :

a. Hukum komutatif

A A + B = B + A

b. Hukum Asosiatif

B (A + B) + C = A + (B + C)

Opersai pengurangan dapat dijabarkan dari opersai penjumlahan dengan menyatakan negatif dari suatu vektor.

A -A

B - A = B + (-A)

B-A -A

Vektor secara analitis dapat dinyatakan dalam bentuk :

A = Ax i + Ay j + Az k dan

B = Bx i + By j + Bz k

maka opersasi penjumlahan/pengurangan dapat dilakukan dengan cara menjumlah/mengurangi komponen-komponennya yang searah.

A + B = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k

A - B = (Ax - Bx) i + (Ay - By) j + (Az - Bz) k

2. Opersai Perkalian

a. Perkalian vektor dengan skalar

Contoh perkalian besaran vektor dengan skalar dalam fisika : F = ma, p = mv, dsb dimana m : skalar dan a,v : vektor. Bila misal A dan B adalah vektor dan k adalah skalar maka,

B = k A

Besar vektor B adalah k kali besar vektor A sedangkan arah vektor B sama dengan arah vektor A bila k positip dan berla-wanan bila k negatip. Contoh : F = qE, q adalah muatan listrik dapat bermuatan positip atau negatip sehingga arah F tergantung tanda muatan tersebut.

b. Perkalian vektor dengan vektor.

a. Perkalian dot (titik)

Contoh dalam Fisika perkalian dot ini adalah : W = F . s,

P = F . v, F = B . A.

Hasil dari perkalian ini berupa skalar.

Bila C adalah skalar maka

C = A . B = A B cos q

atau dalam notasi vektor

C = A . B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

Bagaimana sifat komutatif dan distributuf dari perkalian dot

b. Perkalian cross (silang)

Contoh dalam Fisika perkalian silang adalah : t = r x F,

F = q v x B, dsb

Hasil dari perkalian ini berupa vektor.

Bila C merupakan besar vektor C, maka

C = A x B = A B sin q

atau dalam notasi vektor diperoleh :

A x B = (AyBz - Az By) i + (AzBx - AxBz) j + (AxBy - AyBx) k

Karena hasil yang diperoleh berupa vektor maka arah dari vektor tersebut dapat dicari dengan arah maju sekrup yang diputar dari vektor pertama ke vektor kedua.

i x j = k j x j = 1 . 1 cos 90 = 0

k x j = - I dsb

Bagaimana sifat komutatif dan distributif dari perkalian cross

D. OPERASI DASAR DUA VEKTOR

a. Perkalian Vektor dengan Skalar

Suatu Vektor

dikalikan dengan suatu scalar m maka hasilnya ialah suatu vector m

. Besaran vector m

ialah m kali besaran vector

. jika m> 0, maka Vektor

dan m

mempunyai arah sama, akan tetapi jika m< 0, makakedua vector itu berlawanan arah.

a. Pada gambar (i)

1. Vector

dan 2

sejajar dan searah , dan

= 2

2. Vektor

dan -3

saling berlawanan arah, dan

= 3

b. Pada Gambar (ii)

1. Vector

dan 3

searah , sedangkan vector

dan -5

berlawanan arah.

2. Vektor

dan

sejajar jika dan hanya jika

= m

, m ialah scalar.

3. Jika vector

dan

jika tidak sejajar dan m

= n

, maka m = 0 dan n = 0.

Contoh :

1. Diketahui vector

Gambarlah tiap vector berikut.

= 2

= -3

= -3/2

4. 2

= 3

Jawab :

dan

mempunyai arah yang sama dan

= 2

dan

berlawanan arah , tetapi

= 3

dan

berlawanan arah ,dan

= 1 ½

= 3

atau

= 3/2

Sehingga

dan

mempunyai arah yang sama, dan

= 1 ½ |

2. Penjumlahan Dua Vektor

a. Jumlah dua vector searah

Jumlah dua vector searah

dan

yang searah adalah suatu vector yang arahnya sama dan besar vector sama dengan jumlah besar vector

dan

b. Jumlah dua vector yang berlainan arah

Resultan atau jumlah dua buah vector pada umumnya dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Untuk tiga buah vector atau lebih dapat dilakukan dengan menggunakan aturan polygon

c. Aturan segitiga