Persamaan Garis Lurus

BAB XI

PERSAMAAN GARIS LURUS

A. Pengertian Pesamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus adalah suatu fungsi yang apabila digambarkan ke dalam bidang Cartesius akan berbentuk garis lurus. Garis lurus ini mempunyai nilai kemiringan suatu gris yang dinamakan Gradien (m).

Bentuk umum :

y = mx + c

dimana:

m = gradien (kemiringan garis)
c = konstanta

B. Gradien Garis Lurus (m)

Gradien adalah nilai yang menyatakan kemiringan suatu garis yang dinyatakan dengan m.

Untuk mencari nilai gradien suatu garis dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu:

1. Garis melalui dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂)

Y

Gradiennya m =                                (x₁,y₁)

(x₂,y₂)

X

contoh soal:

gradien garis lurus yang melalui titik (5,2) dan (-1,8) adalah...

Jawab:

m =               à x1= 5 ; x₂ = -1 ; y₁= 2 dan y₂ = 8

m =           =      = -1

2. Garis melalui pusat koordinat 0 dan melalui titik (x₁, y₁)
                                                             gradien m =

(x₁, y₁)

O

contoh:

Gradien garis lurus melalui titik (0,0) dan (4,8) adalah...

Jawab:

m =       à x1 = 4 ; y₁= 8

=    = 2

3. Garis memotong kedua sumbu

a.  Garis miring ke kanan

m =

(0,a)

(- b,0)

b. Garis miring ke kiri

m = -

(0,a)

(b,0)

4. Persamaan garis ax + by + c = 0  maka

gradiennya (m) =                    =-

contoh:

Gradien garis dengan persamaan 2x - y - 5 = 0 adalah...

Jawab:

2x - y - 5 = 0 à ax + by + c = 0, maka a = 2 ; b = -1 dan c = -5

m = -     =-        =  2

5. Garis sejajar sumbu x

m =    =0    à y = 0x + b  (y = b)

y = b

contoh:

Gradien garis y = 4 adalah...

jawab:

y = mx + c à y = 0x + 4

dijadikan ke bentuk persamaan ax + by + c = 0 menjadi 0x - y + 4 = 0 à a = 0 ; b = -1

m =                    =-     =-        = 0

6. Garis sejajar sumbu y

m =     =~

x = a

contoh:

gradien garis x = 2 adalah...

Jawab:

y = mx + c à mx  = y - c à x = 0y + 2

à x = 0y + a  (x = a)

dijadikan ke bentuk persamaan ax + by + c = 0 menjadi x-0y -2 = 0àa = 1;  b = 0

m =                    =-      =-      =  ~

C. Menentukan Persamaan Garis Lurus

1. Persamaan garis yang melalui titik O (0,0) dan bergradien m.
     Persamaan garisnya :

y = mx                                                              (x,y)

O

2. Persamaan garis yang melalui titik (0,c) dan bergradien m
     Persamaan garisnya:

y = mx + c

(x,y)

(0,c)

O

3. Persamaan garis yang melalui titik (x₁, y₁) dan bergradien m

Persamaan garisnya:

(x₁,y₁)       gradien m            y-y₁ = m(x-x₁)

contoh:

persamaan garis lurus melalui titik (5,10) dan bergradien 2 adalah...

Jawab:

Persamaan garisnya:

y-y₁ = m(x-x₁) àm = 2 ; x₁= 5 ; y₁ = 10 y-10 = 2 (x -5)

y-10 = 2x-10
y = 2x - 10 + 10
y = 2x

4. Persamaan garis yang melalui titik  (x₁, y₁) dan (x₂, y₂)

(x₁, y₁)           Persamaan garisnya:

=

(x₂, y₂)

contoh:

Persamaan garis lurus melalui titik (2,4) dan (-3,-2) adalah...
Jawab:

persamaan garisnya:

=             à x₁ = 2 ; x₂ = 4 ; y₁ = -3 ; y₂ = -2

(     )

(      )   =

=

2(y+3) = x - 2
2y + 6 = x - 2
2y = x - 2 - 6
2y = x - 8

5. Persamaan garis yang memotong sumbu x dan sumbu y di titik (x₁, 0) dan (0,y₁)

(0,y₁)                                             Persamaan garisnya:

y₁. x  + x₁. y = x₁. y₁

(x₁, 0)

contoh:

Persamaan garis lurus melalui titik (4,0) dan (0,8) adalah...
Jawab:

persamaan garisnya:

y₁. x + x₁. y = x₁. y₁ à x₁ = 4 dan y₁ = 8

8x + 4y = 4 . 8

8x + 4 y = 32
2x + y = 8
y = 8 - 2x

D. Hubungan antara dua Garis Lurus

1. Gradien dua garis sejajar

gradien dua garis lurus adalah sama

a                                Garis a sejajar dengan garis b.

Jika gradien garis a = m_a dan

b                            gradien garis b = m_b , maka

ma = mb

Persamaan garis yang sejajar  dengan garis ax + by + c = 0 dan melalui titik (x₁, y₁) adalah ax + by = ax₁+ by₁

contoh :

Persamaan garis yang melalui titik (2,3)dan sejajar dengan garis 3x+5y - 15 = 0 adalah...

Jawab:

cara1:

cari gradien garis 3x+5y - 15 = 0 à 5y= -3x + 15

y =   x + 3 à gradiennya = m= -

Karena sejajar maka persamaan garis yang dicari gradiennya adalah sama.

Persamaan garis yang melalui titik (2,3) dengan gradien m = -   adalah y-y₁ = m(x-x₁) àx₁ = 2 ; y₁ = 3

y-3 =-        (x - 2)

y-3 = -   x +            à dikali 5

5y - 15 = -3x + 6
3x + 5y = 21

cara2:

Persamaan garis yang sejajar  dengan garis ax + by + c = 0 dan melalui titik (x₁, y₁) adalah ax + by = ax₁+ by₁

Garis 3x+5y - 15 = 0, melalui titik (2,3)
a = 3 ; b = 5 ; x₁ = 2 ; y₁ = 3

Persamaan garisnya:

3x + 5y = 3 . 2 + 5 . 3
3x + 5y = 21

2. Gradien dua garis tegak lurus

a                                                                      Garis a sejajar dengan garis b.

Jika gradien garis a = m_a dan

b                            gradien garis b = m_b , maka

ma ^{x m}b ^{= -1 atau m}a ⁼

^{Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis ax + by + c = 0 dan melalui titik (x}₁, y₁) adalah ay - bx = ay₁ - bx₁

contoh:

Persamaan garis lurus melalui titik (3,5) dan tegak lurus garis 2x + y - 5 = 0 adalah...

Jawab:
Cara1:

Ditentukan dulu gradien garis 2x + y - 5 = 0 y = -2x + 5 à gradiennya = m = -2

Karena tegak lurus maka gradien persamaan melalui titik (3,5) =       =        =

Persamaan garis lurus melalui titik (3,5) dengan gradien  adalah:

y-y₁ = m(x-x₁) àx₁ =3; y₁ =5

y-5 =       ( x - 3)

y-5 =  x-           à dikalikan 2

2y - 10 = x - 3
2y - x = 7

Cara2:

Persamaan garis yang tegak lurus  dengan garis ax + by + c = 0 dan melalui titik (x₁, y₁) adalah  ay - bx = ay₁ - bx₁

Garis 2x + y - 5 = 0 melalui titik (3,5) adalah a = 2 ; b=1 ; x₁ = 3 ; y₁ = 5

Persamaan garisnya
2y - x = 2 . 5 - 1. 3
2y - x =  7

E. Menentukan titik potong dari dua garis lurus

Titik potong dari dua garis lurus dapat dilakukan dengan 2 cara:

1. Substitusi

Dengan memasukkan salah satu varibel dari persamaan yang satu ke persamaan yang lain.

2. Eliminasi

Dengan mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabel dengan cara menyamakan variabel yang akan dieliminasi.

contoh:

Tentukan titik potong garis 2x + y - 6 = 0 dengan garis 2y - x - 7 = 0
Jawab:

Cara 1 (substitusi):

2x + y - 6 = 0                             ...(1)

2y - x - 7 = 0 à x = 2y - 7 ..(2)

Substitusi (2) ke (1)

2 (2y-7) + y - 6 = 0
4y - 14 + y - 6 = 0
5y - 20 = 0

5y = 20

y = 4

masukkan nilai y ke (1) lagi:

2x + 4 - 6 = 0

2x - 2 = 0

2x = 2

x = 1

diperoleh titik potongnya adalah (1,4)
Cara 2 (eliminasi):

2x + y - 6 = 0

2y - x - 7 = 0 à x - 2y + 7 = 0

Eliminasi  variabel x

2x + y - 6 = 0  |x 1|         2x +  y -     6 = 0

x-2y + 7 = 0  |x 2|           2x - 4y + 14 = 0     -

5y - 20 = 0

5y          = 20

y           = 4

masukkan y = 4 :
2 . 4 - x - 7 = 0
8-x-7 = 0
1-x = 0

x = 1

didapat titik potong (1,4)